Leonardo Euler (1707-1783)

Notable matemático nacido en Basilea, Suiza. Demostró grandes facultades para las matemáticas desde temprana edad y pronto gano la estima de Johann Bernoulli; su profesor en la Universidad de Basilea, uno de los más eminentes matemáticos de su tiempo. Tras graduarse en dicha institución en 1723, cuatro años más tarde fue invitado personalmente por Catalina I para convertirse en asociado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Fue uno de los matemáticos más prolíferos de todos los tiempos, pues escribió tratados sobre todas las ramas de esta ciencia, publicando más de 500 libros y artículos, que repartidas durante toda su vida dan un promedio de 800 páginas anuales.

Aplicó sus matemáticas a la astronomía, deduciendo la naturaleza de algunas de las perturbaciones y siendo a este respecto el precursor de Laplace y Lagrange. Empezó a sustituir los métodos geométricos de comprobación que utilizaron Galileo y Newton por otros algebraicos y esta tendencia fue llevada a su extremo por Lagrange.

Perdió la vista en un ojo en 1735 y del otro en 1766, hecho que no afectó ni a la calidad ni al número de sus hallazgos. Hasta 1741, año en que por invitación de Federico el Grande se trasladó a la Academia de Berlín, refinó los métodos y las formas del cálculo integral, que convirtió en una herramienta de fácil aplicación a problemas de física. Con ello configuró en buena parte las matemáticas aplicadas de la centuria siguiente, además de desarrollar la teoría de las funciones trigonométricas y logarítmicas.

En 1748 publicó la obra “Introductio in analysim infinitorum”, tratado, en dos volúmenes, fuente en la que se basaron todos los matemáticos del siglo XVIII y en la que expuso el concepto de función en el marco del análisis matemático, campo en el que así mismo contribuyó de forma decisiva con resultados como el teorema sobre las funciones homogéneas y la teoría de la convergencia. En el ámbito de la geometría desarrolló conceptos básicos como los del ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un triángulo, y revolucionó el tratamiento de las funciones trigonométricas al adoptar radios numéricos y relacionarlos con los números complejos mediante la denominada identidad de Euler; a él se debe la moderna tendencia a representar cuestiones matemáticas y físicas en términos aritméticos.

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Bernhard Riemann (1826-1866)

Fue un Matemático alemán, hijo de un pastor luterano, y su primera ambición fue la de seguir los pasos de padre. Mostró talento para la aritmética a temprana edad. En 1846 ingresó en la Universidad de Góttingen para estudiar teología y filología, pero prefirió estudiar matemática. Su carrera se interrumpió por la revolución de 1848, durante la cual sirvió al rey de Prusia. En 1851 se doctoró en Góttingen, con una tesis que fue muy elogiada por Gauss, y en la que Riemann estudió la teoría de las variables complejas y, en particular, lo que hoy se denominan superficies de Riemann, e introdujo en la misma los métodos topológicos. Además de su trabajo en geometría, hizo contribuciones básicas a la teoría de las funciones de una variable compleja, a la física matemática y a la teoría de números. Clarificó la noción de Integral, definiendo lo que ahora llamamos Integral de Riemann. Él fue quien permitió calcular las integrales a partir de la definición como un límite de sumas.

En su corta vida contribuyó a muchísimas ramas de las matemáticas: integrales de Riemann, aproximación de Riemann, método de Riemann para series trigonométricas, matrices de Riemann de la teoría de funciones abelianas, funciones zeta de Riemann, hipótesis de Riemann, teorema de Riemann-Roch, lema de Riemann-Lebesgue, integrales de Riemann-Liouville de orden fraccional, aunque tal vez su más conocida aportación fue su geometría no euclidiana, basada en una axiomática distinta de la propuesta por Euclides, y expuesta detalladamente en su célebre memoria sobre las hipótesis que sirven de fundamento a la geometría. Los ricos y amplios conceptos de Riemann del espacio y de la geometría tuvieron profundos efectos en el desarrollo de la teoría física moderna y brindaron los conocimientos y métodos usados cincuenta años más tarde como apoyo concreto para la teoría general de la relatividad desarrollada por Einstein.

En 1862, año un después de su matrimonio, sufrió un ataque de pleuritis y durante el resto de su vida fue un hombre agobiado por esta enfermedad para morir en Italia de tuberculosis a los 39 años de edad. Su muerte prematura determinó una gran pérdida para el mundo matemático porque su trabajo fue brillante y de importancia capital.

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)

Lagrange nació el 23 de enero de 1736 en Turín y murió 1813. Procedía de una ilustre familia parisiense que tenía profundo arraigo en Cerdeña y algún rastro de noble linaje italiano.

Lagrange fue uno de los científicos matemáticos y físicos más importantes de finales del siglo 18. Introdujo el cálculo de variaciones, que sería el tema central de la obra de su vida y más tarde lo aplicó a la nueva disciplina de aquel entonces, la Mecánica Celestial, sobre todo al hallazgo de mejores soluciones al Problema de tres cuerpos. También contribuyó significativamente con la solución numérica y algebraica de ecuaciones y con la teoría numérica (demostró que todo entero positivo es suma de 4 cuadrados, que n es primo, si y sólo si, (n - 1)! + 1 es divisible por n). Además, trabajo en Astronomía, Mecánica, Dinámica, Probabilidad entre otros.

En su clásica Mecanique analytique (1788), transformó la mecánica en una rama del análisis matemático resumiendo los principales resultados sobre mecánicas logrados hasta el siglo 18.

Interpolación Polinomial y Ajuste Polinomial

Unos de los tópicos mas importantes en el calculo numérico es la interpolación polinomial, puesto existen gran variedad de problemas donde se requiere estimar valores intermedios.

Dada una función f de la cual se conocen sus valores en un número finito de puntos x₀,x₁,...,x_m, se llama interpolación polinomical al proceso de hallar un polinomio p_m(x) de grado m, dado por p_m(x_k) = f (x_k), para todo k=0,1,2,…m.

Este polinomio permitirá hallar aproximaciones de otros valores desconocidos para la función con una precisión deseable. Por ello, para cada polinomio interpolante se dispondrá de una fórmula de error que admitirá ajustar la precisión del mismo. Se dispone de dos métodos generales de interpolación polinómica que permiten aproximar una función mediante un polinomio de grado m. Uno de los métodos es la interpolación de Lagrange.
Disponemos además, de un método alternativo para calcular los coeficientes de un polinomio interpolador de una función f dada, el cual es conocido con el nombre del método de Diferencias Divididas de Newton.

Por otro lado, cuando los datos están asociados a errores sustanciales la interpolación es inadecuada y podría arrojar resultados insatisfactorios al pretender estimar f (x). El método de juste de curva genera una función f que no ajusta precisamente a los puntos individuales, sino que se ajusta a la tendencia de los datos. Una vez establecido la función a ajustar se determina sus parámetros, en el caso de un polinomio serán sus coeficientes, de modo que los datos experimentales se desvíen lo menos posible de la fórmula empírica.

Para el Proyecto

Se les recuerda a los estudiantes que deben consignar la lista de los integrantes de su grupo QUE DEBEN SER CINCO, para que se le sea entregado sus respectivos problemas.